J'ai travaillé sur la formulation des équilibres de Nash généralisés en inéquations variationnelles dans le cas non convexe avec Didier Aussel, professeur à l'Université de Perpignan, et Rafael Correa, professeur à l'Université du Chili, au Chili, nous avons publié un article dans la revue JOTA. Cette reformulation a consisté à utiliser les notions de quasi-convexité puis d'utiliser un outil adapté aux fonctions quasi-convexes appelé "cone normal ajusté". Par la suite nous avons formulé des fonctions de saut pour les équilibres de Nash dans le cas non convexe et non borné.
Un second travail sur les équilibres de Nash que j'ai réalisé en collaboration avec Rafael Correa a consisté à étudier la stabilité d'un équilibre de Nash généralisé par rapport à un paramètre dans le cas convexe et non différentiable. Dans ce but nous avons utilis\'e des outils d'analyse non lisse tels que la coderivée extérieure principalemente développée par Mordukhovich (vous pourrez trouver plus de détails dans le livre "Variational analysis and generalized differentiation I: Basic theory" écrit par le professeur Mordukhovich et publié en 2006). Ce travail a débouché sur une publication dans la revue Optimization .
Marché de l'électricité:
Le processus de libéralisation de divers marchés électriques à partir des années 80 a rendu nécessaire le développement de moèles adaptés permettant de réguler ces marchés et de garantir la bonne concurence, tout en satisfaisant les besoins énergétiques. Les premiers travaux dans le domaine furent réalisés par Klemperer et Meyers en 1989, Green et Newbery en 1992 ont modélisé le marché du Pays de Galles.
Dans la modélisation proprosée, chaque producteur réalise une enchère auprès d'un agent de régulation, nommé ISO (Idependant System Operator), qui détermine la production de chaque producteur, ainsi que les flux électriques dans le réseau dans le but de minimiser le cout global, tout en satisfaisant la demande. Chaque producteur cherche à maximiser son bénéfice, ce qui se traduit par un jeu de Nash. Nos travaux se sont principalement basés sur les travaux de Ralph. Nous avons rajouté, par rapport aux travaux de Ralph, les pertes thermiques.
Nous avons effectué deux travaux sur les marchés électriques, un premier travail aura consisté à obtenir un résultat d'existence dans un marché à deux iles dans lequel nous supposons que l'unique ligne de transmission dont les pertes thermiques ne sont pas négligeables est la ligne de transmission qui relie les deux iles. Ce travail, réalisé en collaboration avec Didier Aussel et Rafael Correa, a débouché sur un publication dans JIMO. Un second travail, réalisé en collaboration avec Didier Aussel et Michal Cervinka, post-doctorant à Prague, a consisté à étudier des conditions de qualifications pour obtenir une condition d'optimalité en termes de point M-stationnaire, de plus nous avons exhibé des conditions suffisantes sur la structure du marché pour que ces conditions de qualification soient satisfaites. Ce travail aura débouché sur une publication dans la la revue RAIRO.